Broggi va néixer a Barcelona el 1908, en el si d’una família acomodada. El 1931 es va llicenciar en Medicina, especialitat de cirurgia, a la Universitat de Barcelona, sota la direcció d’August Pi i Sunyer i Joan Trias i Pujol. Durant el període de la Guerra Civil va servir a l’Exèrcit republicà com a metge de les Brigades Internacionals i va posar en pràctica els quiròfans mòbils. També va ser testimoni a l’Hospital Clínic dels bombardeigs de març de 1938 al centre de Barcelona, una experiència que va explicar al programa de BTV ‘Ciutadans en temps de guerra’ (2006)
En acabar la guerra, va ser depurat per haver estat adscrit al bàndol republicà, tot i que va poder seguir exercint a diversos centres. El 1966 va esdevenir membre de la Reial Acadèmia de Medicina de Barcelona, entitat que arriba a presidir el 1980. Broggi va ser premiat amb la Creu de Sant Jordi de la Generalitat (1981) i Medalla d’Or de l’Ajuntament de Barcelona. El 2010 el nou Hospital de Sant Joan Despí va incorporar el nom de Moisès Broggi en honor al cirurgià.
En els darrers anys, el doctor Broggi havia iniciat una intensa activitat política amb l’objectiu de la independència de Catalunya. El maig de 2011 va tancar la llista de la candidatura d’UxB a l’Ajuntament de Barcelona i a les eleccions generals va encapçalar la llista d’ERC i Reagrupament al Senat. Broggi va viure amb intensitat la darrera manifestació de l’11 de setembre a Barcelona, seguint la marxa des de la seu que l’ANC tenia habilitada a la plaça de Catalunya. En una conversa amb BTV, el cirurgià va dir que creia que la marxa reflectia el sentir general del país, que és el de separar-se d’Espanya. “Ara sí que va de debò”, va dir.
En els darrers anys ha rebut nombrosos homenatges, com el premi dels Amics de la Gent Gran de 2010 o com el que es va fer al Carmel als Brigadistes Internacionals.
Les mostrs de condol no s’han fet esperar. L’alcalde Xavier Trias ha destacat de Moisès Broggi la seva “saviesa” i ha demanat estar a l’altura de l'”empremta inesborrable” que deixa. El líder d’UxB, Jordi Portabella, n’ha valorat la “fermesa nacional”, i el president del Grup Municipal del PP, Alberto Fernández Díaz, la seva “professionalitat i i excel·lència en la docència i l’exercici de la medicina”.
